克拉玛公式(1):克拉玛生平及着作介绍(Cramer&821

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  • 时间:2020-06-18


摘要:本文介绍克拉玛公式及克拉玛的生平、着作。

现在的克拉玛公式

在求一次联立方程组之解时,最常提及的解公式就是「克拉玛公式」。以二元一次联立方程组与三元一次联立方程组为例:

$$(1)$$ 给定 $$x$$、$$y$$ 的一次联立方程组 $$\left\{ \begin{array}{l} {a_{ 1}}x + {b_{ 1}}y = {c_{ 1}}\\ {a_{ 2}}x + {b_{ 2}}y = {c_{ 2}} \end{array} \right.$$

令 $$\Delta = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}\\ {{b_{ 2}}} \end{array} } \right|$$,$${\Delta _{ x}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{c_{ 1}}}\\ {{c_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{b_{ 1}}}\\ {{b_{ 2}}} \end{array} } \right|$$,$${\Delta _{ y}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}} \end{array} \begin{array}{*{20}{c}} {{c_{ 1}}}\\ {{c_{ 2}}} \end{array} } \right|$$。

则当 $$\Delta \ne 0$$ 时,$$\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$$,$$\displaystyle y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$$

$$(2)$$ 给定 $$x$$、$$y$$、$$z$$ 的一次联立方程组 $$\left\{ \begin{array}{l} {a_{ 1}}x + {b_{ 1}}y + {c_{ 1}}z = {d_{ 1}}\\ {a_{ 2}}x + {b_{ 2}}y + {c_{ 2}}z = {d_{ 2}}\\ {a_{ 3}}x + {b_{ 3}}y + {c_{ 3}}z = {d_{ 3}} \end{array} \right.$$,

令 $$\Delta = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}&{{b_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}}&{{b_{ 2}}}&{{c_{ 2}}}\\ {{a_{ 3}}}&{{b_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right|$$,$${\Delta _{ x}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{d_{ 1}}}&{{b_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{d_{ 2}}}&{{b_{ 2}}}&{{c_{ 2}}}\\ {{d_{ 3}}}&{{b_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right|$$,

$${\Delta _{ y}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}&{{d_{ 1}}}&{{c_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}}&{{d_{ 2}}}&{{c_{ 2}}}\\ {{a_{ 3}}}&{{d_{ 3}}}&{{c_{ 3}}} \end{array} } \right|$$,$${\Delta _{ z}} = \left| { \begin{array}{*{20}{c}} {{a_{ 1}}}&{{b_{ 1}}}&{{d_{ 1}}}\\ {{a_{ 2}}}&{{b_{ 2}}}&{{d_{ 2}}}\\ {{a_{ 3}}}&{{b_{ 3}}}&{{d_{ 3}}} \end{array} } \right|$$。

则当 $$\Delta\ne 0$$ 时,$$\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$$,$$\displaystyle y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$$,$$\displaystyle z=\frac{\Delta_z}{\Delta}$$。

在上述的联立方程组中,当 $$\Delta \ne 0$$ 时,$$\displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta}$$,$$\displaystyle y=\frac{\Delta_y}{\Delta}$$,$$\displaystyle z=\frac{\Delta_z}{\Delta}$$ 就是今日所称的「克拉玛公式」。对于「克拉玛公式」的推导过程,以及方程组之解的进一步讨论(唯一解、无解、无限多解),请参见本网站洪誌阳老师所写之〈线性方程组的讨论〉,在此不再赘述。

用行列式来表徵「克拉玛公式」,的确是十分简洁、漂亮。然而,在克拉玛的时代,数学家尚未发展出行列式的概念或符号,也就是说,克拉玛在当时是用不同的方式来呈现今日所称的「克拉玛公式」,虽然没有像今日的公式这幺精炼,却别有一番风味。以下先介绍克拉玛的生平、着作,在带大家欣赏克拉玛的「克拉玛公式」。

 克拉玛的生平及着作

克拉玛 (Gabriel Cramer) 1704年出生于日内瓦,1752年到法国养病时逝世。克拉玛的父亲是日内瓦的医学教授,他另外两个兄弟也都很杰出,一个成为医学教授,另一个则是法学教授。

克拉玛在18岁时就以一篇声学的论文获得博士学位。两年后,他向日内瓦克莱文学院 (Académie de Clavin) 争取哲学的教职。由于竞争者都十分优秀,所以克莱文学院就将教职分成哲学与数学两个,由20岁的克拉玛与21岁的卡兰德利尼 (Giovanni Ludovico Calandrini)共享数学教职(薪水当然也是共享的),克拉玛教授几何学与力学,卡兰德利尼教授代数学与天文学。

这份教职最特别之处是,克莱文学院要求这两位年轻人都必须花两到三年的时间到外地去拜访其他学者,以增广见闻,开拓人际关係。而当一个人外出时,薪水与授课就全交予另一人。乍看之下,这半薪、甚至是二到三年无薪的教职并不是份好的工作,但事实证明,克莱文学院的眼光独到,知道这二到三年的时间,将对克拉玛产生深远的影响。

克拉玛在获得教职的第四年,履行他对克莱文学院的承诺,到欧洲各地旅行两年。这期间,克拉玛不仅见到了许多数学家,如约翰‧伯努利 (Johann Bernoulli)、欧拉 (Euler)、哈雷 (Halley)、棣美弗 (de Moivre)、史特林 (Stirling)等人,更得到这些数学家的友谊与认同,这对他往后的学术生涯有很大的帮助与影响。

比如说,约翰‧伯努利生前坚持只有克拉玛才能够编辑并出版他的《全集》(Complete Works),在克拉玛的付出下,这四册于1742年出版。不止如此,约翰‧伯努利还託克拉玛编辑他已逝的哥哥雅克布‧伯努利 (Jacob Bernoulli)的《全集》(Works)共两册,并于1744年出版。伯努利兄弟是当时欧洲顶尖的数学家,能受到约翰‧伯努利的信任,代表克拉玛在数学能力与地位上,都不同于一般的数学家。由此也就不难得知,何以克拉玛后来能成为英国皇家学会、柏林科学院、法国、义大利等多个学会的成员了。

克拉玛在1750年出版的《代数曲线的分析导论》一书,主要在探讨曲线,特别是求通过平面上若干点的曲线,例如求过平面上5个已知点的二次曲线。在这本书的附录一中,出现了今日所谓的「克拉玛公式」,这留待下一篇再介绍。

连结:克拉玛公式(2):克拉玛的公式

参考资料: